De beste representaties van wiskunde bestaan ​​misschien nog niet

Hoe digitaal de manier waarop we wiskunde zien kan hervormen

Nederigheid. Het is alles wat ik kan voelen na het bekijken van de nieuwste wiskundevideo van 3Blue1Brown, waarin Grant Sanderson en zijn team de meest nieuwe benaderingen bieden voor het oplossen van 2D-vergelijkingen, met behulp van kleur. Het is de tweede keer dat 3Blue1Brown in een paar weken uit mijn dak is gegaan, na hun eerdere video die het Basel-probleem met licht oploste.

Hoewel ik in beide gevallen bekend was met de resultaten / methoden, kwamen de voorstellingen als een complete verrassing. De 3Blue1Brown-video's zijn verre van perfect (ze gaan door met een cadans die soms frustrerend is, gebrek aan interactie en, in het meest recente voorbeeld, van weinig nut kunnen zijn voor de kleurenblind), maar ze herinneren ons eraan dat ons begrip van wiskunde nooit compleet zijn. Hoe goed u ook denkt een concept te begrijpen, er zullen altijd nieuwe voorstellingen zijn om uw denken te verdiepen en u te dwingen bekende waarheden op onbekende manieren onder ogen te zien. Wiskunde is nooit een uitgemaakte zaak.

Geloof het of niet, we lossen hier 2D-vergelijkingen op (bron)

Nederigheid houdt ons open voor nieuwe en nieuwe voorstellingen van oude concepten. Het staat tegenover de arrogantie van het zich hechten aan enkelvoudige representaties, en aan te nemen dat er maar één manier is om met een bepaald wiskundeconcept om te gaan.

Neem staafmodellen: een bepaalde weergave die hier in het Verenigd Koninkrijk in zwang is als de poster child of mathy beheersing. Een kernprincipe van op beheersing gebaseerde benaderingen is dat beheersing nooit volledig wordt verworven; ons begrip van wiskundige concepten is oneindig diep. Er zijn altijd meer problemen om op te lossen, meer redenering om gearticuleerd te worden. Hoe triest dan dat de implementatie van beheersing vaak beperkt is tot de specifieke weergave van staafmodellen. Begrijp me niet verkeerd - ik heb veel liefde voor de tralies: Cuisenaire-staven en Base 10-blokken behoren tot mijn meest gebruikte manipulatieven, niet in het minst omdat ze een aantal concepten kunnen presenteren. Maar staafmodellering wordt vaak zo rigide omarmd dat de gehechtheid aan ideologisch grenst; Ik heb met tegenzin meegedaan aan debatten met docenten die weigeren om alternatieven voor de weergave van het staafmodel te entertainen.

Een Singaporese weergave van een staafmodel (bron)

Een exclusieve focus op elke representatie - barmodel of anderszins - verslaat alleen het streven naar beheersing omdat het procedurele vastheid induceert: studenten kunnen vloeiend worden met een bepaalde representatie, maar komen niet vast te zitten wanneer gevraagd wordt om hun kennis toe te passen op minder bekende contexten. Flexibel denken komt voort uit het hebben van meerdere representaties. Hoe meer manieren we hebben om een ​​bepaald concept te zien, hoe exponentieel waarschijnlijker we die kennis in nieuwe situaties zullen toepassen.

Het digitale medium is klaar om een ​​groot aantal voorheen onbevooroordeelde representaties te bedienen. 3Blue1Brown is maar al te zeldzaam van EdTech die de verleiding mijdt om statische, handboekrepresentaties na te bootsen. In plaats daarvan heeft Sanderson mijn begrip van wiskundige concepten belicht op een manier die zo dynamisch is dat men zijn inhoud nauwelijks in gedrukte vorm kan voorstellen. Dit is niet om gedrukte afbeeldingen helemaal weg te gooien - Sanderson zelf somt een hele reeks handboeken op als inspiratie. Maar om ons diepste begrip van wiskunde te bereiken, moeten we digitale, gedrukte en alle andere media die beschikbaar zijn voor ons omarmen om nieuwe wegen naar wiskundige verlichting te bouwen.

Als het idee om onze weergaven van wiskunde te veranderen je van streek brengt, onthoud dan dat ons wiskundige wereldbeeld altijd in beweging is geweest. Hoewel wiskundige waarheden in steen zijn gegoten, hangt de manier waarop we met die waarheden omgaan af van de technologie waarover we beschikken. Je kunt bijvoorbeeld aannemen dat Algebra noodzakelijkerwijs symbolisch is: het is moeilijk een algebraïsch probleem voor te stellen zonder een x. Toch gebruikten de oorspronkelijke architecten van Algebra dergelijke formele uitdrukkingen niet. De Perzische wiskundige Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī loste geen kwadratische vergelijkingen op in notatie die jij of ik zou herkennen. In plaats daarvan nam hij zijn toevlucht tot het onvermoeibaar opschrijven van zijn interesseproblemen (voornamelijk ingegeven door handels- en erfrecht) in verhalende vorm.

De algebra van weleer - geen x te vinden (bron)

De symbolische vorm die we tegenwoordig zo nauw associëren met Algebra heeft veel te danken aan de uitvinding van de drukpers, die wiskundigen ongekende mogelijkheden bood om hun ideeën in verschillende culturen en beschavingen snel te delen. De behoefte aan een gemeenschappelijke taal, en om dubbelzinnigheid in de vertaling te voorkomen, werd steeds belangrijker en ging dus de X'en en Y's in die we vandaag als vanzelfsprekend beschouwen.

Keith Devlin is een van degenen die hebben betoogd dat de digitale technologieën van vandaag een verschuiving naar representaties zullen veroorzaken die zowel efficiënt als intuïtief zijn, met het argument dat videogames het natuurlijke medium zijn voor de wiskunde van de 21ste eeuw. Het is een idee dat het waard is serieus genomen te worden, gezien de verwarring en angst die symboolrijke voorstellingen veroorzaken.

Mijn grootste hoop voor EdTech is dat het nieuwe voorstellingen van wiskunde inspireert. Ik zou willen wedden dat voor een goed stuk wiskundige concepten de meest verhelderende voorstellingen nog steeds op onze ontdekking wachten. De opkomst van dynamische modellerings-apps zoals Desmos en GeoGebra, en niet te vergeten de adembenemende video's van 3Blue1Brown, hebben de manier waarop we wiskunde zien en ermee omgaan al hervormd.

De wiskunde die ons te wachten staat, kan alleen worden beperkt door onze verbeelding. Godzijdank hebben mensen als Grant Sanderson nieuwe manieren bedacht om oude ideeën te presenteren.

Ik ben een onderzoekswiskundige die opvoeder is geworden. Zeg hallo op Twitter of LinkedIn en meld je hieronder aan om meer inhoud zoals deze te ontvangen.